几何平均值与几何标准差

如何合并几何平均值和几何标准差?今天,小师妹问了我这样一个棘手的问题。

这两个概念我从前学过,但从来没用过。于是查了一下维基百科:

几何平均数(Geometric mean),是求一组数值的平均数的方法中的一种。适用于对比率数据的平均,并主要用于计算数据平均增长(变化)率。

计算公式是:

\(G = \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n} x_i} = \sqrt[n]{x_1\cdot x_2 \cdot \cdot \cdot x_n}\)

而几何标准差(geometric standard deviation)的解释是这样的:

在机率论与统计学中,几何标准差形容一组数值有多分散,用于当这一组数字理应优先选用的平均数为几何平均数之时。对于这类数据,几何标准差可能优于普通的标准差。留意几何标准差是个乘法因数,因此是无量纲的,而不似普通的算术标准差,与输入数值有同样的量纲。

计算公式:

\(\sigma = \exp(\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} (\ln \frac{x_i}{G})^2)}{n}})\)

这里吐槽一下维基百科:同一个量在不同的页面就不能使用同一个符号来表示吗?害得我这个小白费解了半天。

好了,现在我们来合并两组数据的几何平均值和几何标准差。

请听题:

假定:

  • 第 1 组数据是 \((x_1, x_2, ... x_n)\), 其几何平均值是 \(G_x\),几何标准差是 \(\sigma_x\)
  • 第 2 组数据是 \((y_1, y_2, ... y_n)\), 其几何平均值是 \(G_y\),几何标准差是 \(\sigma_y\)

那么,这两组数据的合集 \((x_1, x_2, ... x_n, y_1, y_2, ... y_n)\) 的几何平均值 \(G_{x,y}\) 和几何标准差\(\sigma_{x,y}\)如何计算?

这是一道初中代数题。下面是推导:

几何平均值 \(G_{x,y}\)

\(G_x = \sqrt[n]{x_1\cdot x_2 \cdot \cdot \cdot x_n} \Rightarrow G_x^n = x_1\cdot x_2 \cdot \cdot \cdot x_n\) (1)

\(G_y = \sqrt[m]{y_1\cdot y_2 \cdot \cdot \cdot y_m} \Rightarrow G_y^m = y_1\cdot y_2 \cdot \cdot \cdot y_m\) (2)

故合集的几何平均值是:

\(G_{x,y} = \sqrt[n + m]{x_1\cdot x_2 \cdot \cdot \cdot x_n \cdot y_1\cdot y_2 \cdot \cdot \cdot y_m} = \sqrt[n + m]{G_x^n \cdot G_y^m}\) (3)

几何标准差 \(\sigma_{x,y}\)

\(\sigma_x = \exp(\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} (\ln \frac{x_i}{G_x})^2)}{n}}) \Rightarrow \Sigma(\ln \frac{x_i}{G_x})^2 = (\ln(\sigma_x))^2 \cdot n\) (4)

\(\sigma_y = \exp(\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{m} (\ln \frac{y_i}{G_y})^2)}{m}}) \Rightarrow \Sigma(\ln \frac{y_i}{G_y}) ^2= (\ln(\sigma_y))^2 \cdot m\) (5)

根据定义:

\(\sigma_{x,y} = \exp(\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} (\ln \frac{x_i}{G_x})^2 +\sum_{i = 1}^{m} (\ln \frac{y_i}{G_y})^2)}{n+m}})\) (6)

将 (4) (5) 带入 (6) 即可:

\(\sigma_{x,y} = \exp(\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} (\ln \frac{x_i}{G_x})^2 +\sum_{i = 1}^{m} (\ln \frac{y_i}{G_y})^2)}{n+m}}) = \exp \sqrt{\frac{(\ln \sigma_x)^2 \cdot n + (\ln \sigma_y)^2 \cdot m}{n + m}}\) (7)

推导不难,麻烦的是敲公式。

好吧,其实我就是想试试,用 R 语言的 blogdown 写这样一篇带公式的帖子要多久而已。

大约半小时。

在本页的公式上面鼠标点右键,就可以复制公式代码贴到别的地方了。

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