(1)
吃午饭的时候，同事 ZY 神秘秘地告诉我：
你知道吗？R 语言可以算出一个函数的导函数！
什么？！我结结实实吃了一惊。作为十几年的 R 语言用户，虽然偶尔会撞见零星几个藏在犄角旮旯里的功能，但是距离上回这么惊讶已经有年头了。
怎么做到的？
ZY 发给我一行代码：
mosaicCalc::D(sin(x) ~ x)## function (x)
## cos(x)厉害厉害！那么有没有它的反函数呢？就是已知导函数，求原函数？我问。
ZY 被噎住了。然而没多久，就发给我另一行代码：
mosaicCalc::antiD(a * x ^ 2 ~ x, a = 3)## function (x, a = 3, C = 0)
## a * 1/3 * x^3 + C果然有啊！
后来我发现，其实不用 mosaicCalc，基础函数包就有，只是写法不一样：
D(expression(sin(x)), "x")## cos(x)不管怎么样，看着这两种自从考完大学高数课就再也没有用过的运算，顿时感到午后的阳光洒满了校园。
接着我提出了一个新问题：
R 语言会做分解质因数吗？
(2)
之所以这么问，是因为前两天辅导老大功课的时候，我遇见了一道题，让我耿耿于怀总放不下。
题目是这样的：\(m\) 和 \(k\) 都是整数，且 \(m^m(m^k-k)=2012\)，求 \(m\) 和 \(k\)。
这一看就是 2012 年的题目嘛，也不更新一下。
老大挑衅：你管它是哪年的，你会做吗？
老父亲试一下：首先想到的就是分解质因数，2012 = 2 x 2 x … 503 还能分解吗？
老大看着我手忙脚乱地在纸上从 7 开始试，便不声不响地一番操作，然后把一件物事递到我鼻子底下。
我停下笔一看，是他的计算器：
什么？现在的计算器已经逆天到可以分解质因数了？
在儿子的鄙视下，万般念头涌入脑海：当年学过的那些技能啊，珠算、手动开平方、查对数表……全都白学了。
现在这个清单上又多了个分解质因数。
于是这事儿就这么了了：\(m\) 肯定是 2 咯，而 \(2^k\) 稍微超过 503 一丢丢的，\(k\) 只能是 9 咯。
然而草还是种下了：分解质因数，R 语言能整么？
(3)
当然能整。要是不能整，咱就自己写个函数整一整。但是最好找个现成的，白用。
一搜，果然有！
library(gmp)
factorize(2012)## Big Integer ('bigz') object of length 3:
## [1] 2 2 503爽极了。我心念一动；考题一般都拿当年的年份做文章，那么押个题试试？ 2021……
factorize(2021)## Big Integer ('bigz') object of length 2:
## [1] 43 47不由得一愣：2021 = 43 x 47？
2021 居然是个半质数！只能分解成两个质因数 43 和 47！而且这一对宝贝还是一对相邻的质数！而且 20 和 21 本身还是相邻的整数！
惊天大发现啊！今年的年终盘点，终于可以感觉没有虚度了！
那么，这辈子能遇见多少个半质数年以及质数年呢？撸起袖子，把 1980 到 2079 这 100 年都做个分解：
year <- 1980:2079
year_p <- sapply(year, factorize)
n_p <- sapply(year_p, length)
year_print <- paste(year, sapply(year_p, paste, collapse = ' x '), sep = ' = ')质数年有 13 个，他们是：
year[n_p == 1]## [1] 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069质数年有 27 个，他们是：
year[n_p == 2]## [1] 1981 1982 1983 1985 1991 1994 2005 2018 2019 2021 2026 2031 2033 2038 2041
## [16] 2042 2045 2047 2049 2051 2059 2062 2066 2071 2073 2077 2078这 100 年的质因数表附在文末，供大家把玩。那么看看吧，你这一生会经历多少质数年，多少半质数年？
附录
year_print## [1] "1980 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 11"
## [2] "1981 = 7 x 283"
## [3] "1982 = 2 x 991"
## [4] "1983 = 3 x 661"
## [5] "1984 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 31"
## [6] "1985 = 5 x 397"
## [7] "1986 = 2 x 3 x 331"
## [8] "1987 = 1987"
## [9] "1988 = 2 x 2 x 7 x 71"
## [10] "1989 = 3 x 3 x 13 x 17"
## [11] "1990 = 2 x 5 x 199"
## [12] "1991 = 11 x 181"
## [13] "1992 = 2 x 2 x 2 x 3 x 83"
## [14] "1993 = 1993"
## [15] "1994 = 2 x 997"
## [16] "1995 = 3 x 5 x 7 x 19"
## [17] "1996 = 2 x 2 x 499"
## [18] "1997 = 1997"
## [19] "1998 = 2 x 3 x 3 x 3 x 37"
## [20] "1999 = 1999"
## [21] "2000 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5"
## [22] "2001 = 3 x 23 x 29"
## [23] "2002 = 2 x 7 x 11 x 13"
## [24] "2003 = 2003"
## [25] "2004 = 2 x 2 x 3 x 167"
## [26] "2005 = 5 x 401"
## [27] "2006 = 2 x 17 x 59"
## [28] "2007 = 3 x 3 x 223"
## [29] "2008 = 2 x 2 x 2 x 251"
## [30] "2009 = 7 x 7 x 41"
## [31] "2010 = 2 x 3 x 5 x 67"
## [32] "2011 = 2011"
## [33] "2012 = 2 x 2 x 503"
## [34] "2013 = 3 x 11 x 61"
## [35] "2014 = 2 x 19 x 53"
## [36] "2015 = 5 x 13 x 31"
## [37] "2016 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 7"
## [38] "2017 = 2017"
## [39] "2018 = 2 x 1009"
## [40] "2019 = 3 x 673"
## [41] "2020 = 2 x 2 x 5 x 101"
## [42] "2021 = 43 x 47"
## [43] "2022 = 2 x 3 x 337"
## [44] "2023 = 7 x 17 x 17"
## [45] "2024 = 2 x 2 x 2 x 11 x 23"
## [46] "2025 = 3 x 3 x 3 x 3 x 5 x 5"
## [47] "2026 = 2 x 1013"
## [48] "2027 = 2027"
## [49] "2028 = 2 x 2 x 3 x 13 x 13"
## [50] "2029 = 2029"
## [51] "2030 = 2 x 5 x 7 x 29"
## [52] "2031 = 3 x 677"
## [53] "2032 = 2 x 2 x 2 x 2 x 127"
## [54] "2033 = 19 x 107"
## [55] "2034 = 2 x 3 x 3 x 113"
## [56] "2035 = 5 x 11 x 37"
## [57] "2036 = 2 x 2 x 509"
## [58] "2037 = 3 x 7 x 97"
## [59] "2038 = 2 x 1019"
## [60] "2039 = 2039"
## [61] "2040 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 17"
## [62] "2041 = 13 x 157"
## [63] "2042 = 2 x 1021"
## [64] "2043 = 3 x 3 x 227"
## [65] "2044 = 2 x 2 x 7 x 73"
## [66] "2045 = 5 x 409"
## [67] "2046 = 2 x 3 x 11 x 31"
## [68] "2047 = 23 x 89"
## [69] "2048 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2"
## [70] "2049 = 3 x 683"
## [71] "2050 = 2 x 5 x 5 x 41"
## [72] "2051 = 7 x 293"
## [73] "2052 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 19"
## [74] "2053 = 2053"
## [75] "2054 = 2 x 13 x 79"
## [76] "2055 = 3 x 5 x 137"
## [77] "2056 = 2 x 2 x 2 x 257"
## [78] "2057 = 11 x 11 x 17"
## [79] "2058 = 2 x 3 x 7 x 7 x 7"
## [80] "2059 = 29 x 71"
## [81] "2060 = 2 x 2 x 5 x 103"
## [82] "2061 = 3 x 3 x 229"
## [83] "2062 = 2 x 1031"
## [84] "2063 = 2063"
## [85] "2064 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 43"
## [86] "2065 = 5 x 7 x 59"
## [87] "2066 = 2 x 1033"
## [88] "2067 = 3 x 13 x 53"
## [89] "2068 = 2 x 2 x 11 x 47"
## [90] "2069 = 2069"
## [91] "2070 = 2 x 3 x 3 x 5 x 23"
## [92] "2071 = 19 x 109"
## [93] "2072 = 2 x 2 x 2 x 7 x 37"
## [94] "2073 = 3 x 691"
## [95] "2074 = 2 x 17 x 61"
## [96] "2075 = 5 x 5 x 83"
## [97] "2076 = 2 x 2 x 3 x 173"
## [98] "2077 = 31 x 67"
## [99] "2078 = 2 x 1039"
## [100] "2079 = 3 x 3 x 3 x 7 x 11"